农民砍掉自己种的杨树后被判刑的法律依据是《刑法》和《森林法》中关于滥伐林木罪的相关规定。
根据《刑法》第三百四十五条第二款的规定，违反森林法的规定，滥伐森林或者其他林木，数量较大的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数量巨大的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金，最高人民法院《关于审理破坏森林资源刑事案件具体应用法律若干问题的解释》第5条规定，未经林业行政主管部门及法律规定的其他主管部门批准并核发林木采伐许可证，或者虽持有林木采伐许可证，但违反林木采伐许可证规定的时间、数量、树种或者方式，任意采伐本单位所有或者本人所有的森林或者其他林木的，数量较大的，以滥伐林木罪定罪处罚。
《森林法》第五十六条第一、二款也明确规定，采伐林地上的林木应当申请采伐许可证，并按照采伐许可证的规定进行采伐。
如果农民在未取得《林木采伐许可证》的情况下擅自砍伐自己种植的杨树，且数量达到法律规定的滥伐林木罪的标准，那么其行为就构成滥伐林木罪，需要承担相应的刑事责任。
